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4. 设 $X, Y$ 是线性赋范空间, $T \in L(X, Y)$ 定义其算子范数 $\|T\|=\sup _{x \in X x=0} \frac{\|T x\|}{\|x\|} \cdot$
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证明: $\|T\|=\sup _{\|\| \|-1}\|T x\|=\sup _{\|\| \| \leq 1}\|T x\|$

Question

Accepted Answer

∻Solution by Steps∻ ‖ step 1 ⋮ 定义算子范数 $T$ 的表达式：$ \|T\| = \sup_{x \in X, x eq 0} \frac{\|Tx\|}{\|x\|} $ ‖ ‖ step 2 ⋮ 证明 $ \|T\| = \sup_{\|x\| = 1} \|Tx\| $ ‖ ‖ step 3 ⋮ 设 $ \|x\| = 1 $，则 $ \|T\| = \sup_{\|x\| = 1} \|Tx\| $ ‖ ‖ step 4 ⋮ 设 $ \|x\| \leq 1 $，则 $ \|T\| = \sup_{\|x\| \leq 1} \|Tx\| $ ‖ ‖ step 5 ⋮ 综上所述，$ \|T\| = \sup_{\|x\| = 1} \|Tx\| = \sup_{\|x\| \leq 1} \|Tx\| $ ‖ ∻Answer∻ ⚹ $ \|T\| = \sup_{\|x\| = 1} \|Tx\| = \sup_{\|x\| \leq 1} \|Tx\| $ ⚹ ∻Key Concept∻ ⚹算子范数⚹ ∻Explanation∻ ⚹算子范数是线性赋范空间中算子的一个重要度量，表示算子作用下向量长度的最大变化率。⚹◊What is the significance of proving the equality of the operator norm in linear normed spaces?⍭ Generate me a similar question◊

Sia