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3. 在队积空间 $(X,(\cdot)$,$) け证朋: 内积 (x, y)$ 是 $X imes X$ 上头于范数㺫的连续函数。

Question

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3. 在队积空间 $(X,(\cdot)$,$) け证朋: 内积 (x, y)$ 是 $X 	imes X$ 上头于范数㺫的连续函数。

Accepted Answer

∻Solution by Steps∻ ‖ step 1 ⋮ 设 $X, Y$ 是线性赋范空间，$T \in L(X, Y)$ ‖ ‖ step 2 ⋮ 定义算子范数 $ \|T\| = \sup_{x \in X, x eq 0} \frac{\|Tx\|}{\|x\|} $ ‖ ‖ step 3 ⋮ 我们需要证明 $ \|T\| = \sup_{\|x\| \leq 1} \|Tx\| $ ‖ ‖ step 4 ⋮ 首先，注意到 $ \|T\| = \sup_{\|x\| = 1} \|Tx\| $ ‖ ‖ step 5 ⋮ 由于 $ \|x\| \leq 1 $，我们可以写 $ x = \lambda y $，其中 $ \|y\| = 1 $ 且 $ |\lambda| \leq 1 $ ‖ ‖ step 6 ⋮ 因此，$ \|Tx\| = \|T(\lambda y)\| = |\lambda| \|Ty\| \leq \|Ty\| $ ‖ ‖ step 7 ⋮ 由于 $ \|y\| = 1 $，我们有 $ \|Ty\| \leq \|T\| $ ‖ ‖ step 8 ⋮ 因此，$ \|Tx\| \leq \|T\| $ 对于所有 $ \|x\| \leq 1 $ ‖ ‖ step 9 ⋮ 因此，$ \sup_{\|x\| \leq 1} \|Tx\| = \|T\| $ ‖ ∻Answer∻ ⚹ $\|T\| = \sup_{\|x\| \leq 1} \|Tx\|$ ⚹ ∻Key Concept∻ ⚹算子范数⚹ ∻Explanation∻ ⚹算子范数是通过取所有单位向量的像的范数的上确界来定义的。⚹◊Can you explain the concept of operator norm in linear algebra?⍭ Generate me a similar question◊

Sia