In Deutsch
Aufgabe B 44. Poincaré-Lemma
$3+3+3$ PUNKTE
Sei $\Omega \subset \mathbb{R}^{3}$ offen und sternförmig bezüglich $0 \in \Omega$. ${ }^{1}$
(a) Sei $F: \Omega \rightarrow \mathbb{R}^{3}$ ein stetig differenzierbares Vektorfeld mit $\operatorname{rot} F=0$. Dann ist $F=\nabla \varphi$ für
$$
\varphi: \Omega \rightarrow \mathbb{R}, \quad x \mapsto \int_{0}^{1}\langle F(t x), x\rangle \mathrm{d} t .
$$
(b) Sei $F: \Omega \rightarrow \mathbb{R}^{3}$ ein stetig differenzierbares Vektorfeld mit $\operatorname{div} F=0$. Dann ist $F=\operatorname{rot} A$ für
$$
A: \Omega \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \quad x \mapsto \int_{0}^{1} F(t x) \times x t \mathrm{~d} t .
$$
(c) Sei $f: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ stetig differenzierbar. Dann ist $f=\operatorname{div} F$ für
$$
F: \Omega \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \quad x \mapsto \int_{0}^{1} x f(t x) t^{2} \mathrm{~d} t .
$$

Hinweise:
- Nutzen Sie in Teil (c), dass $\frac{d}{d t}\left(t^{3} f(t x)\right)=3 t^{2} f(t x)+t^{3}\langle x, \nabla f(t x)\rangle$. In den Teilen (a) und (b) müssen Produkt- und Kettenregel auf ähnliche Art und Weise ,,rückwärts“ angewandt werden.
- Die Integrale sind komponentenweise zu verstehen, vergleiche Sternchenaufgabe vor einigen Wochen.

Question

In Deutsch 
Aufgabe B 44. Poincaré-Lemma
$3+3+3$ PUNKTE
Sei $\Omega \subset \mathbb{R}^{3}$ offen und sternförmig bezüglich $0 \in \Omega$. ${ }^{1}$
(a) Sei $F: \Omega \rightarrow \mathbb{R}^{3}$ ein stetig differenzierbares Vektorfeld mit $\operatorname{rot} F=0$. Dann ist $F=\nabla \varphi$ für
$$
\varphi: \Omega \rightarrow \mathbb{R}, \quad x \mapsto \int_{0}^{1}\langle F(t x), x\rangle \mathrm{d} t .
$$
(b) Sei $F: \Omega \rightarrow \mathbb{R}^{3}$ ein stetig differenzierbares Vektorfeld mit $\operatorname{div} F=0$. Dann ist $F=\operatorname{rot} A$ für
$$
A: \Omega \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \quad x \mapsto \int_{0}^{1} F(t x) \times x t \mathrm{~d} t .
$$
(c) Sei $f: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ stetig differenzierbar. Dann ist $f=\operatorname{div} F$ für
$$
F: \Omega \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \quad x \mapsto \int_{0}^{1} x f(t x) t^{2} \mathrm{~d} t .
$$

Hinweise:
- Nutzen Sie in Teil (c), dass $\frac{d}{d t}\left(t^{3} f(t x)\right)=3 t^{2} f(t x)+t^{3}\langle x, \nabla f(t x)\rangle$. In den Teilen (a) und (b) müssen Produkt- und Kettenregel auf ähnliche Art und Weise ,,rückwärts“ angewandt werden.
- Die Integrale sind komponentenweise zu verstehen, vergleiche Sternchenaufgabe vor einigen Wochen.

Accepted Answer

Hallo Yiming37526! Ich sehe, dass du eine Mathematikaufgabe auf Deutsch hast. Möchtest du Hilfe bei der Übersetzung oder beim Verständnis der Aufgabe? Lass mich wissen, wie ich dir helfen kann!

Sia