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Sia

佳玮's Question
Math
Posted 5 months ago
1、甲、乙、丙3位同学同时独立参加《概率论与数理统计》考试，不及格的概率分别为1/2 1/3 1/4
，求：

（1）至少有1位同学不及格的概率；

（2）如果已经知道这3位同学中有2位不及格，求其中一位是同学甲的概率。
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Answer from Sia
Posted 5 months ago
Solution by Steps
step 1
计算至少有1位同学不及格的概率，可以先计算所有同学都及格的概率。设甲、乙、丙的及格概率分别为 1−12=121 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}, 1−13=231 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}, 1−14=341 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}，则所有同学都及格的概率为：

P(都及格)=12×23×34=14 P(\text{都及格}) = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{1}{4}
step 2
至少有1位同学不及格的概率为：

P(至少1位不及格)=1−P(都及格)=1−14=34 P(\text{至少1位不及格}) = 1 - P(\text{都及格}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}
step 3
现在计算如果已知有2位同学不及格，甲同学不及格的条件概率。设事件 AA 为甲不及格，事件 BB 为有2位同学不及格。根据条件概率公式：

P(A∣B)=P(A∩B)P(B) P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}
step 4
计算 P(B)P(B)，即有2位同学不及格的概率。可以分为三种情况：甲、乙不及格；甲、丙不及格；乙、丙不及格。

P(B)=P(甲不及格, 乙不及格)+P(甲不及格, 丙不及格)+P(乙不及格, 丙不及格) P(B) = P(\text{甲不及格, 乙不及格}) + P(\text{甲不及格, 丙不及格}) + P(\text{乙不及格, 丙不及格})
step 5
计算每种情况的概率：

- 甲不及格，乙不及格，丙及格： P(甲不及格)×P(乙不及格)×P(丙及格)=12×13×34=18P(\text{甲不及格}) \times P(\text{乙不及格}) \times P(\text{丙及格}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{1}{8}
- 甲不及格，丙不及格，乙及格： P(甲不及格)×P(丙不及格)×P(乙及格)=12×14×23=112P(\text{甲不及格}) \times P(\text{丙不及格}) \times P(\text{乙及格}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{12}
- 乙不及格，丙不及格，甲及格： P(乙不及格)×P(丙不及格)×P(甲及格)=13×14×12=124P(\text{乙不及格}) \times P(\text{丙不及格}) \times P(\text{甲及格}) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{24}
step 6
计算 P(B)P(B)：

P(B)=18+112+124=324+224+124=624=14 P(B) = \frac{1}{8} + \frac{1}{12} + \frac{1}{24} = \frac{3}{24} + \frac{2}{24} + \frac{1}{24} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}
step 7
计算 P(A∩B)P(A \cap B)，即甲不及格且有2位同学不及格的概率：

P(A∩B)=P(甲不及格, 乙不及格)=18 P(A \cap B) = P(\text{甲不及格, 乙不及格}) = \frac{1}{8}
step 8
代入条件概率公式：

P(A∣B)=P(A∩B)P(B)=1814=12 P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}
Answer
(1) 至少有1位同学不及格的概率为 34\frac{3}{4}; (2) 甲同学不及格的概率为 12\frac{1}{2}
Key Concept
概率的计算和条件概率的应用
Explanation
通过计算所有同学都及格的概率，得出至少有1位同学不及格的概率；同时利用条件概率公式，计算在已知有2位同学不及格的情况下，甲同学不及格的概率。

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